測溫鉑電阻的實用數學模型及電路實現

摘要:分析了鉑電阻測溫應解決的問題,根據其常用的溫度-電阻表達式提出了一種實用的數學模型,運用數學原理對其測溫電路進行了探討,給出了一種簡潔的實用電路及其實驗結論。

一、概述
    鉑電阻是一種在工業領域應用極廣泛的溫度感測器。它具有一些優良的性能。但是, 在由鉑電阻作溫度感測器的溫度檢測系統中, 也有一些固有的比較棘手的問題需要認真解決,主要可歸納如下:

1. 鉑電阻的溫度-阻值間具有明顯的非線性,隨著溫度的升高,其靈敏度逐漸變小。
2. 實際使用中, 工作現場與測控室一般都有相當距離,鉑電阻長引線帶來的影響不容忽視,必須解決長引線電阻造成誤差的自動外償。
3. 鉑電阻溫度計的溫度係數較小, 故在使用中必須有一個高穩定度、高精度的放大電路,來提高測量系統的分辨能力。

    這裡介紹筆者實踐過的一種鉑電阻溫度數字化測量設計電路,它較有效地解決了上述諸問題,克服了鉑電阻的局限性,且線路較其它同類型儀錶更簡單,成本更低廉。

二、數字模型的建立及電路實現
1、鉑電阻測溫非線性的校正措施
    鉑電阻具有隨被測量溫度的上升其靈敏度隨之下降的特性。在正溫區其阻值—溫度關係可用下式描述:
R_t = R₀ (1 + A t + Bt²)                           (1)
也可表述為
ΔRt = A t + Bt²                                        (2)
上兩式中, Rt 、R0 分別為t 與0 ℃時鉑電阻值; A 、B 為常數,且B 為負值;ΔRt 為鉑電阻阻值隨溫度的變化量,即ΔRt = Rt - R0 。
    雖然從表達式上看可直接對鉑電阻測溫非線性進行校正,但在工程上卻難以實現。為此提出一種具有分式結構的函數式對式(2) 進行擬合:
 
    式(3) 即為本文提出的具有實用價值的鉑電阻測溫數學模型。
    應該指出,式(3) 對式(2) 的擬合是有一定誤差的,其擬合精度由待定係數K1 、K2 決定。對式(3) 按馬克勞林級數展開,得到:
 
將上式化簡整理有:
 
比較式(5) 與式(2) ,令對應係數項相等,有
K1 = A                           (6)
K2 = - B/ A                    (7)
    式(4) 與式( 5) 中省略了三次以上高次項, 這些高次項即是式(3) 對式(2) 擬合的誤差源。進一步地數學推導還可以證明,式(3) 對式(2) 的擬合誤差在0.1 ℃以內。
    以上提出和分析了鉑電阻測溫數學模型,我們只需要設計測量電路,使其輸出與式(3) 數學模型中的自變數t保持線性關係,即可認為實現了對式(2) 關係的測量。

2、 測溫電路分析及推導
 
    本文在線路設計上, 是通過巧妙利用A/ D 轉換器的轉換特性來實現鉑電阻的非線性校正的。在圖1 所示原理電路中,A/ D 轉換器採用通用型
晶元ICL7106 ,其轉換關係為：
 
    式中, UIN 、UREF分別為A/ D 轉換器的模擬輸入電壓與參考電壓; C 為轉換係數; S 為輸出數字量。設計線路中還巧妙利用了兩隻三端精密可調穩壓器件TL431。這裡並不利用它產生穩定電壓,而是利用其特性進行R/ U 轉換。根據其特性可得到如下關係式:
 
因此有:
 
為了進行零點遷移,即為使0 ℃時電路輸出為零, 必須
令　
則有
    可見,這時A/ D 轉換器的模擬輸入電壓與鉑電阻隨溫度的變化量ΔRt 成正比。根據同樣道理可分析出:
 
上式經簡單變換化簡可得到如下形式:
U_REF = M - N·ΔRt                                                                                  (15)
其中, M 、N 分別為由式(14) 中常係數所確定的常量。
聯立式(8) 、(13) 、(15) 可得:
 
將式(3) 代入式(16) ,即可得到完整的輸入輸出關係式:
 
令: MK₂ = NK₁                                  (18)
則有
    由此可見,當電路能滿足式(15) 所表徵的函數關係時,能獲得理想的線性輸出結果。式(19) 中, 合理選取各係數項,就可以直讀實際溫度。

三、引線電阻溫度誤差的消除
    為了減小鉑電阻傳輸線引線電阻隨溫度變化而引起的測量誤差, 設計電路中採用了四線制接線方式。實際應用中應保證四芯線為同芯傳輸線, 以使其各線隨溫度的變化量基本相等。圖2 為其具體接線圖。其中2 、3 號線由於對應輸入電阻很大, 故其微小的阻值變化產生的影響可忽略不計。1 、4 號線阻值變化產生的影響可相互補償。
 

四、實驗結果及結束語
    採用本文介紹的鉑電阻測溫電路, 經筆者初步測試,非線性誤差可做到小於0.5 % , 具體實驗結果見表1 。能滿足較高精度使用要求。另外,由於本電路所用元器件很少, 也沒有採用價格較貴的高指標運算放大器,故具有可靠性高,造價低廉,實用性強的優點。