基於MATLAB 的數字濾波器性能分析

    近年來，隨著MATLAB的功能日益便捷和完善，信號處理以及數字濾波器設計得到了廣泛應用．比如基礎的IIR(無限長響應)濾波器和FIR(有限長響應)濾波器都由以前的傳統解析設計向程序開發、函數調用，甚至直接使用面向對象的GUI設計工具轉變．整個濾波器的設計得以變得簡單高效．
    關於基於MATLAB的數字濾波器設計的文獻書籍有很多，然而濾波器設計的過程應該有兩大任務：一是根據設計要求給出的各項技術指標按照理論步驟設計得出相應的系統函數；二是要對設計出的濾波器進行性能的分析，以達到對結果檢驗的目的．本文主要探討第二個任務，分析計算數字濾波器的脈衝響應、頻率響應、零點分佈、群延時和相延時等，從中考察性能的適應性．

1 性能分析的理論基礎
1.1 脈衝響應和頻率響應
    脈衝響應是用時間序列表徵的系統特性，當系統的輸入為脈衝序列時，系統零狀態的輸出定義為脈衝響應，記為h(n)．它與系統具有一一對應的關係，所以可以用它來代表系統的時域特性．從脈衝響應可以判斷系統的因果性和穩定性．充要條件如下：因果性h(n)=0 n<0；穩定性為h(n)絕對可和．此外從脈衝響應也可看出數字濾波器的種類是屬於IIR還是FIR、
    頻率響應是在頻率域對系統進行了表徵、直觀的反映了濾波器輸出在頻率範圍的分佈情況，可以看出濾波器的功能類型(低通、高通、帶通、帶阻)，檢驗濾波效果非常方便．
    在MATLAB 中有對應的分析函數：
(1) [h,t]=impz(b,a,n,fs)：計算濾波器的脈衝函數。h為n點脈衝響應向量；
(2) [h,x]=freqz(b,a,n,fs)：調用FFT(快速傅立葉變換)計算濾波器的頻率響應．Fs為採樣頻率，可以計算濾波器在任意頻率點f上的頻響．

1.2 系統函數零、極點分佈與系統特性的關係
    因果(可實現)系統其單位脈衝相應h(n)一定滿足：當n<0時，h(n)=0，那麼其系統函數H(z)的收斂域一定包含∞點，即∞點不是極點，極點分佈在某個圓內，收斂域在某個圓外．系統穩定要求Σ|h(n)|(n從-∞到+∞)<∞，對照Z變換定義，系統穩定要求收斂域包含單位圓．
    所以如果系統因果且穩定，收斂域包含∞點和單位圓，那麼收斂域可表示成r<|z|≤∞，0<r<1，即H(z)的極點集中分佈在單位圓的內部．由此，系統的因果性和穩定性可以由系統函數的極點分佈來確定．
 
圖1 頻率響應幾何表示法
    如圖1所示，利用頻率響應的幾何表示法，可以很容易地確定零極點位置對系統特性的影響．當B點轉到極點附近時，極點矢量長度最短，因而幅度特性可能出現峰值，而且極點越靠近單位圓，極點矢量長度越短，峰值越高越尖銳。如果極點在單位圓上，則幅度特性為∞，系統不穩定．對於零點，情況相反，當B點轉到零點附近時，零點矢量長度最短，因而幅度特性出現谷值，越靠近單位圓，谷值接近零值。當零點在單位圓上時，谷值為零．所以只要能得到零極點的分佈情況就能分析出頻響的曲線形狀．
    在MATLAB中有對應的分析函數：zplane(繪製H(z)的零極點圖)，格式：zplane(B，A)． 圖中0表示零點，用x表示極點．
    其他的性能參數在這裡就不再累牘敘述．

2 模擬分析與結果
    在MATLAB環境下對上述的分析進行模擬，我們可以得到直觀的結果．以某一數字濾波器設計得到的系統函數為例，H(Z)=z(z+1)/(z-4)(z+0.6)，源程序如下：
b=[1,1];a=[1,0.2,-0.24]; % 濾波器函數係數
impulse=[1,zeros(1,9)]；
h=filter(b,a,impulse);subplot(3,2,1);stem(h); %繪製脈衝響應
subplot(3,2,2);impz(b,a,10);
[h,w]=freqz(b,a); %繪製頻率響應
subplot(3,2,3);plot(w,20*log10(abs(h))); %幅頻曲線
subplot(3,2,5);plot(w,angle(h)*180/pi);
%相頻曲線
subplot(3,2,4);zplane(b,a)；
%零極點分布圖
pd=-unwrap(angle(h))./w;
gd=grpdelay(b,a);
subplor(3,2,6);plot(w,gd,'-',w，pd,':');
%計算延時
程序執行結果如圖2：
 
圖2 幅頻、相頻曲線，零點、極點分布圖

3 結束語
    從以上理論分析和MATLAB模擬結果圖2可以得出以下結論：
    此系統函數表徵的是一IIR 的數字低通濾波器，它的極點都分佈在單位圓的內部即為因果穩定的系統．根據實際情況，還可以進一步分析獲取其他的性能．這樣的性能分析既是設計過程的必要步驟，也是實驗設備不足的情況下學習相關知識很好的方法．