因為工作的需要,要在單片機上實現開根號的操作。目前開平方的方法大部分是用牛頓
迭代法。我在查了一些資料以後找到了一個比牛頓迭代法更加快速的方法。不敢獨享,介
紹給大家,希望會有些幫助。 1.原理
因為排版的原因,用pow(X,Y)表示X的Y次冪,用B[0],B[1],...,B[m-1]表示一個序列,
其中[x]為下標。 假設：
B[x],b[x]都是二進位序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
pow(N,2) = M (1) N的最高位b[n-1]可以根據M的最高位B[m-1]直接求得。
設 m 已知,因為 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m),所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=
pow(2, m/2)
如果 m 是奇數,設m=2*k+1,
那麼 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶數,設m=2k,
那麼 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。
餘數 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2) (2) N的次高位b[n-2]可以採用試探法來確定。
因為b[n-1]=1,假設b[n-2]=1,則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然後比較餘數M[1]是否大於等於 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種
比較只須根據B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判斷,其餘低位不做比較。
若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設有效,b[n-2] =
1;
餘數 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4);
若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設無效,b[n-2] =
0;餘數 M[2] = M[1]。 (3) 同理,可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。 使用這種演演演演算法計算32位數的平方根時最多只須比較16次,而且每次比較時不必把M的各位逐
一比較,尤其是開始時比較的位數很少,所以消耗的時間遠低於牛頓迭代法。 2. 流程圖
(製作中,稍候再上) 3. 實現代碼
這裡給出實現32位無符號整數開方得到16位無符號整數的C語言代碼。 |
