CRC 演算法原理及C 語言實現

摘要：本文從理論上推導出CRC 演算法實現原理，給出三種分別適應不同計算機或微控制器硬體環境的C 語言程序。讀者更能根據本演算法原理，用不同的語言編寫出獨特風格更加實用的CRC 計算程序。

1 引言
    循環冗餘碼CRC 檢驗技術廣泛應用於測控及通信領域。CRC 計算可以靠專用的硬體來實現，但是對於低成本的微控制器系統，在沒有硬體支持下實現CRC 檢驗，關鍵的問題就是如何通過軟體來完成CRC 計算，也就是CRC 演算法的問題。
    這裡將提供三種演算法，它們稍有不同，一種適用於程序空間十分苛刻但CRC 計算速度要求不高的微控制器系統，另一種適用於程序空間較大且CRC 計算速度要求較高的計算機或微控制器系統，最後一種是適用於程序空間不太大，且CRC 計算速度又不可以太慢的微控制器系統。

2 CRC 簡介
    CRC 校驗的基本思想是利用線性編碼理論，在發送端根據要傳送的k 位二進位碼序列，以一定的規則產生一個校驗用的監督碼（既CRC 碼）r 位，並附在信息後邊，構成一個新的二進位碼序列數共(k+r)位，最後發送出去。在接收端，則根據信息碼和CRC碼之間所遵循的規則進行檢驗，以確定傳送中是否出錯。
    16 位的CRC 碼產生的規則是先將要發送的二進位序列數左移16 位（既乘以2¹⁶ ）后，再除以一個多項式，最後所得到的餘數既是CRC 碼，如式（2-1）式所示，其中B(X)表示n 位的二進位序列數，G(X)為多項式，Q(X)為整數，R(X)是餘數（既CRC 碼）。
 
    求CRC碼所採用模2 加減運演算法則，既是不帶進位和借位的按位加減，這種加減運算實際上就是邏輯上的異或運算，加法和減法等價，乘法和除法運算與普通代數式的乘除法運算是一樣，符合同樣的規律。生成CRC碼的多項式如下，其中CRC-16 和CRC-CCITT產生16 位的CRC碼，而CRC-32 則產生的是32 位的CRC碼。本文不討論32 位的CRC演算法，有興趣的朋友可以根據本文的思路自己去推導計算方法。

CRC-16：（美國二進位同步系統中採用） G(X ) = X¹⁶ + X¹⁵ + X ² +1
CRC-CCITT：（由歐洲CCITT 推薦） G(X ) = X¹⁶ + X¹² + X ⁵ +1
CRC-32： G(X ) = X ³² + X ²⁶ + X ²³ + X ²² + X¹⁶ + X¹² + X¹¹ + X¹⁰ + X ⁸+ X ⁷ + X ⁵ + X ⁴ + X ² + X¹ +1

    接收方將接收到的二進位序列數（包括信息碼和CRC 碼）除以多項式，如果餘數為0，則說明傳輸中無錯誤發生，否則說明傳輸有誤，關於其原理這裡不再多述。用軟體計算CRC 碼時，接收方可以將接收到的信息碼求CRC 碼，比較結果和接收到的CRC 碼是否相同。

3 按位計算CRC
    對於一個二進位序列數可以表示為式(3-1):
 
    求此二進位序列數的CRC 碼時，先乘以2¹⁶ 后（既左移16 位），再除以多項式G(X)，所得的餘數既是所要求的CRC 碼。如式(3-2)所示：
 
其中Qn  (X ) 為整數， Rn (X )  為16 位二進位餘數。將式(3-3)代入式(3-2)得：
 
其中  Qn-1( X )  為整數，Rn-1( X ) 為16 位二進位餘數，將式(3-5)代入式(3-4)，如上類推，最後得到：
 
    根據CRC 的定義，很顯然，十六位二進位數 R0( X )  既是我們要求的CRC 碼。式(3-5)是編程計算CRC 的關鍵，它說明計算本位后的CRC 碼等於上一位CRC 碼乘以2 后除以多項式，所得的餘數再加上本位值除以多項式所得的餘數。由此不難理解下面求CRC 碼的C 語言程序。*ptr 指向發送緩衝區的首位元組，len 是要發送的總位元組數，0x1021 與多項式有關。

unsigned int cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) {
unsigned char i;
unsigned int crc=0;
while(len--!=0) {
for(i=0x80; i!=0; i/=2) {
if((crc&0x8000)!=0) {crc*=2; crc^=0x1021;} /* 余式CRC 乘以2 再求CRC */
else crc*=2;
if((*ptr&i)!=0) crc^=0x1021; /* 再加上本位的CRC */
}
ptr++;
}
return(crc);
}

    按位計算CRC 雖然代碼簡單，所佔用的內存比較少，但其最大的缺點就是一位一位地計算會佔用很多的處理器處理時間，尤其在高速通訊的場合，這個缺點更是不可容忍。因此下面再介紹一種按位元組查錶快速計算CRC 的方法。

4 按位元組計算CRC
    不難理解，對於一個二進位序列數可以按位元組表示為式(4-1)，其中B n (X ) 為一個位元組(共8 位)。
 
    求此二進位序列數的CRC 碼時，先乘以2¹⁶ 后（既左移16 位），再除以多項式G(X)，所得的餘數既是所要求的CRC 碼。如式(4-2)所示：
 
其中Qn(X )為整數， Rn(X )為16 位二進位餘數。將式(4-3)代入式(4-2)得：
 
其中  RnH8(X)是Rn(X )的高八位，RnL8(X) 是Rn(X )  的低八位。將式（4-5）代入式（4-4），經整理后得：
 
其中Qn-1(X)為整數，Rn-1(X)為16 位二進位餘數。將式(4-7)代入式(4-6)，如上類推，最後得：
 
很顯然，十六位二進位數R0(X)既是我們要求的CRC 碼。

    式(4-7)是編寫按位元組計算CRC 程序的關鍵，它說明計算本位元組后的CRC 碼等於上一位元組余式CRC 碼的低8 位左移8 位后，再加上上一位元組CRC 右移8 位（也既取高8 位）和本位元組之和后所求得的CRC 碼，如果我們把8 位二進位序列數的CRC 全部計算出來，放如一個表裡，採用查表法，可以大大提高計算速度。由此不難理解下面按位元組求CRC 碼的C 語言程序。*ptr 指向發送緩衝區的首位元組，len 是要發送的總位元組數，CRC 余式表是按0x11021 多項式求出的。

unsigned int cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) {
unsigned int crc;
unsigned char da;
unsigned int crc_ta[256]={ /* CRC 余式表 */
0x0000, 0x1021, 0x2042, 0x3063, 0x4084, 0x50a5, 0x60c6, 0x70e7,
0x8108, 0x9129, 0xa14a, 0xb16b, 0xc18c, 0xd1ad, 0xe1ce, 0xf1ef,
0x 1231, 0x0210, 0x3273, 0x2252, 0x52b5, 0x4294, 0x72f7, 0x62d6,
0x9339, 0x8318, 0xb37b, 0xa35a, 0xd3bd, 0xc39c, 0xf3ff, 0xe3de,
0x2462, 0x3443, 0x0420, 0x1401, 0x64e6, 0x74c7, 0x44a4, 0x5485,
0xa56a, 0xb54b, 0x8528, 0x9509, 0xe5ee, 0xf5cf, 0xc5ac, 0xd58d,
0x3653, 0x2672, 0x1611, 0x0630, 0x76d7, 0x66f6, 0x5695, 0x46b4,
0xb75b, 0xa77a, 0x9719, 0x8738, 0xf7df, 0xe7fe, 0xd79d, 0xc7bc,
0x48c4, 0x58e5, 0x6886, 0x78a7, 0x0840, 0x1861, 0x2802, 0x3823,
0xc9cc, 0xd9ed, 0xe98e, 0xf9af, 0x8948, 0x9969, 0xa90a, 0xb92b,
0x5af5, 0x4ad4, 0x7ab7, 0x6a96, 0x1a71, 0x0a50, 0x3a33, 0x2a12,
0xdbfd, 0xcbdc, 0xfbbf, 0xeb9e, 0x9b79, 0x8b58, 0xbb3b, 0xab1a,
0x6ca6, 0x7c87, 0x4ce4, 0x5cc5, 0x2c22, 0x3c03, 0x0c60, 0x1c41,
0xedae, 0xfd8f, 0xcdec, 0xddcd, 0xad2a, 0xbd0b, 0x8d68, 0x9d49,
0x7e97, 0x6eb6, 0x5ed5, 0x4ef4, 0x3e13, 0x2e32, 0x1e51, 0x0e70,
0xff9f, 0xefbe, 0xdfdd, 0xcffc, 0xbf1b, 0xaf3a, 0x9f59, 0x8f78,
0x9188, 0x81a9, 0xb1ca, 0xa1eb, 0xd10c, 0xc12d, 0xf14e, 0xe16f,
0x1080, 0x00a1, 0x30c2, 0x20e3, 0x5004, 0x4025, 0x7046, 0x6067,
0x83b9, 0x9398, 0xa3fb, 0xb3da, 0xc33d, 0xd31c, 0xe37f, 0xf35e,
0x02b1, 0x1290, 0x22f3, 0x32d2, 0x4235, 0x5214, 0x6277, 0x7256,
0xb5ea, 0xa5cb, 0x95a8, 0x8589, 0xf56e, 0xe54f, 0xd52c, 0xc50d,
0x34e2, 0x24c3, 0x14a0, 0x0481, 0x7466, 0x6447, 0x5424, 0x4405,
0xa7db, 0xb7fa, 0x8799, 0x97b8, 0xe75f, 0xf77e, 0xc71d, 0xd73c,
0x26d3, 0x36f2, 0x0691, 0x16b0, 0x6657, 0x7676, 0x4615, 0x5634,
0xd94c, 0xc96d, 0xf90e, 0xe92f, 0x99c8, 0x89e9, 0xb98a, 0xa9ab,
0x5844, 0x4865, 0x7806, 0x6827, 0x18c0, 0x08e1, 0x3882, 0x28a3,
0xcb7d, 0xdb5c, 0xeb3f, 0xfb1e, 0x8bf9, 0x9bd8, 0xabbb, 0xbb9a,
0x4a75, 0x5a54, 0x6a37, 0x7a16, 0x0af1, 0x1ad0, 0x2ab3, 0x3a92,
0xfd2e, 0xed0f, 0xdd6c, 0xcd4d, 0xbdaa, 0xad8b, 0x9de8, 0x8dc9,
0x7c26, 0x6c07, 0x5c64, 0x4c45, 0x3ca2, 0x2c83, 0x1ce0, 0x0cc1,
0xef1f, 0xff3e, 0xcf5d, 0xdf7c, 0xaf9b, 0xbfba, 0x8fd9, 0x9ff8,
0x6e17, 0x7e36, 0x4e55, 0x5e74, 0x2e93, 0x3eb2, 0x0ed1, 0x1ef0
};
crc=0;
while(len--!=0) {
da=(uchar) (crc/256); /* 以8 位二進位數的形式暫存CRC 的高8 位 */
crc<<=8; /* 左移8 位，相當於CRC 的低8 位乘以28 */
crc^=crc_ta[da^*ptr]; /* 高8 位和當前位元組相加后再查表求CRC ，再加上以前的CRC */
ptr++;
}
return(crc);
}

    很顯然，按位元組求CRC 時，由於採用了查表法，大大提高了計算速度。但對於廣泛運用的8位微處理器，代碼空間有限，對於要求256 個CRC 余式表（共512 位元組的內存）已經顯得捉襟見肘了，但CRC 的計算速度又不可以太慢，因此再介紹下面一種按半位元組求CRC 的演算法。

5 按半位元組計算
    CRC同樣道理，對於一個二進位序列數可以按位元組表示為式(5-1)，其中Bn(X )為半個位元組(共4 位)。
 
    求此二進位序列數的CRC 碼時，先乘以2¹⁶ 后（既左移16 位），再除以多項式G(X)，所得的餘數既是所要求的CRC 碼。如式(5-2)所示：
 
其中Qn(X )  為整數， Rn(X )為16 位二進位餘數。將式(5-3)代入式(5-2)得：
 
其中RnH4(X)是Rn(X )的高4 位，RnL12(X)是Rn(X )的低12 位。將式（5-5）代入式（5-4），經整理后得：
 
其中Qn-1(X)為整數，Rn-1(X)為16 位二進位餘數。將式(5-7)代入式(5-6)，如上類推，最後得：
 
    很顯然，十六位二進位數R0(X)既是我們要求的CRC 碼。
    式(5-7)是編寫按位元組計算CRC 程序的關鍵，它說明計算本位元組后的CRC 碼等於上一位元組CRC碼的低12 位左移4 位后，再加上上一位元組余式CRC 右移4 位（也既取高4 位）和本位元組之和后所求得的CRC 碼，如果我們把4 位二進位序列數的CRC 全部計算出來，放在一個表裡，採用查表法，每個位元組算兩次（半位元組算一次），可以在速度和內存空間取得均衡。由此不難理解下面按半位元組求CRC 碼的C 語言程序。*ptr 指向發送緩衝區的首位元組，len 是要發送的總位元組數，CRC 余式表是按0x11021 多項式求出的。

unsigned cal_crc(unsigned char *ptr, unsigned char len) {
unsigned int crc;
unsigned char da;
unsigned int crc_ta[16]={ /* CRC 余式表 */
0x0000,0x1021,0x2042,0x3063,0x4084,0x50a5,0x60c6,0x70e7,
0x8108,0x9129,0xa14a,0xb16b,0xc18c,0xd1ad,0xe1ce,0xf1ef,
}
crc=0;
while(len--!=0) {
da=((uchar)(crc/256))/16; /* 暫存CRC 的高四位 */
crc<<=4; /* CRC 右移4 位，相當於取CRC 的低12 位）*/
crc^=crc_ta[da^(*ptr/16)]; /* CRC 的高4 位和本位元組的前半位元組相加后查表計算CRC，
然後加上上一次CRC 的餘數 */
da=((uchar)(crc/256))/16; /* 暫存CRC 的高4 位 */
crc<<=4; /* CRC 右移4 位， 相當於CRC 的低12 位） */
crc^=crc_ta[da^(*ptr&0x0f)]; /* CRC 的高4 位和本位元組的後半位元組相加后查表計算
CRC，
然後再加上上一次CRC 的餘數 */
ptr++;
}
return(crc);
}

5 結束語
    以上介紹的三種求CRC 的程序，按位求法速度較慢，但佔用最小的內存空間；按位元組查表求CRC 的方法速度較快，但佔用較大的內存；按半位元組查表求CRC 的方法是前兩者的均衡，即不會佔用太多的內存，同時速度又不至於太慢，比較適合8 位小內存的單片機的應用場合。以上所給的C 程序可以根據各微處理器編譯器的特點作相應的改變，比如把CRC 余式表放到程序存儲區內等。