有源濾波器

1 概述
1.1 濾波器的分類
    有源濾波器實際上是一種具有特定頻率響應的放大器。它是在運算放大器的基礎上增加一些R、C等無源元件而構成的。
    通常有源濾波器分為：

•   低通濾波器（LPF）
•   高通濾波器（HPF）
•   帶通濾波器（BPF）
•   帶阻濾波器（BEF）

    它們的幅度頻率特性曲線如圖1所示。
        
圖1 有源濾波器的頻響
    濾波器也可以由無源的電抗性元件或晶體構成，稱為無源濾波器或晶體濾波器。

1.2 濾波器的用途
    濾波器主要用來濾除信號中無用的頻率成分，例如，有一個較低頻率的信號，其中包含一些較高頻率成分的干擾。濾波過程如圖2所示。
  
圖2 濾波過程

2 有源低通濾波器(LPF)
2.1 低通濾波器的主要技術指標
 （1）通帶增益Avp
    通帶增益是指濾波器在通頻帶內的電壓放大倍數，如圖3所示。性能良好的LPF通帶內的幅頻特性曲線是平坦的，阻帶內的電壓放大倍數基本為零。
 （2）通帶截止頻率fp
    其定義與放大電路的上限截止頻率相同，見圖3。通帶與阻帶之間稱為過渡帶，過渡帶越窄，說明濾波器的選擇性越好。
  
圖3 LPF的幅頻特性曲線

2.2 簡單一階低通有源濾波器
    一階低通濾波器的電路如圖4所示，其幅頻特性見圖5，圖中虛線為理想的情況，實線為實際的情況。特點是電路簡單，阻帶衰減太慢，選擇性較差。
  
                圖4 一階LPF                                                圖5 一階LPF的幅頻特性曲線
當f = 0時，電容器可視為開路，通帶內的增益為
                           
一階低通濾波器的傳遞函數如下
   ，   其中  
    該傳遞函數式的樣子與一節RC低通環節的增益頻率表達式差不多，只是缺少通帶增益Avp這一項。

2.3 簡單二階低通有源濾波器
    為了使輸出電壓在高頻段以更快的速率下降，以改善濾波效果，再加一節RC低通濾波環節，稱為二階有源濾波電路。它比一階低通濾波器的濾波效果更好。二階LPF的電路圖如圖6所示，幅頻特性曲線如圖7所示。
  
               圖6 二階LPF                                                            圖7 二階LPF的幅頻特性曲線
（1）通帶增益
    當f = 0時，各電容器可視為開路，通帶內的增益為
                          
（2）二階低通有源濾波器傳遞函數
根據圖8-2.06可以寫出                      
                     
通常有 ，聯立求解以上三式，可得濾波器的傳遞函數
                      
(3)通帶截止頻率
    將s換成jω，令ω₀＝2πf₀=1/(RC)可得
                          
    當f=fp 時，上式分母的模
                         
解得截止頻率：
                          
    與理想的二階波特圖相比，在超過f0以後，幅頻特性以-40 dB/dec的速率下降，比一階的下降快。但在通帶截止頻率fp→f0之間幅頻特性下降的還不夠快。

2.4 二階壓控型低通有源濾波器
 （1）二階壓控型LPF
二階壓控型低通有源濾波器如圖8所示。其中的一個電容器C1原來是接地的，現在改接到輸出端。顯然，C1的改接不影響通帶增益。
  
            圖8 二階壓控型LPF                                           圖9 二階壓控型LPF的幅頻特性
（2）二階壓控型LPF的傳遞函數
               
對於節點N，可以列出下列方程
               
聯立求解以上三式，可得LPF的傳遞函數
                
上式表明，該濾波器的通帶增益應小於3，才能保障電路穩定工作。
 （3）頻率響應
由傳遞函數可以寫出頻率響應的表達式
             
當f=f0時，上式可以化簡為
                   
    定義有源濾波器的品質因數Q值為f=f0時的電壓放大倍數的模與通帶增益之比
                        
以上兩式表明，當2<Avp<3時，Q>1，在f=f0處的電壓增益將大於Avp，幅頻特性在f=f0處將抬高，具體請參閱圖9。當Avp≥3時，Q=∞，有源濾波器自激。由於將C1接到輸出端，等於在高頻端給LPF加了一點正反饋，所以在高頻端的放大倍數有所抬高，甚至可能引起自激。

2.5 二階反相型低通有源濾波器
二階反相型LPF如圖8-2.10所示，它是在反相比例積分器的輸入端再加一節RC低通電路而構成。二階反相型LPF的改進電路如圖8-2.11所示。
  
                   圖10 反相型二階LPF                                                     圖11 多路反饋反相型二階LPF
由圖11可知
                   
    對於節點N，可以列出下列方程
    
    傳遞函數為
  
    頻率響應為
  
    以上各式中
                         
                        
 
3 有源高通濾波器(HPF)
二階壓控型有源高通濾波器的電路圖如13.12圖所示
  
               圖12 二階壓控型HPF                                圖13 二階壓控型HPF頻率特性
（1）通帶增益
                       
（2）傳遞函數
                        
（3）頻率響應
    令   ，則可得出頻響表達式
                           
由此繪出的頻率響應特性曲線如圖13所示。
結論：當f《 f0 時，幅頻特性曲線的斜率為+40 dB/dec；當Avp≥3時，電路自激。

4 有源帶通濾波器(BPF)和帶阻濾波器(BEF)
    有源帶通濾波器(BPF)電路如圖14所示。有源帶阻濾波器(BEF)電路如圖15所示。
    帶通濾波器是由低通RC環節和高通RC環節組合而成的。要將高通的下限截止頻率設置為小於低通的上限截止頻率。反之則為帶阻濾波器。
  
          圖14 二階壓控型BPF                                                             圖15 二階壓控型BEF
    要想獲得好的濾波特性，一般需要較高的階數。濾波器的設計計算十分麻煩，需要時可藉助於工程計算曲線和有關計算機輔助設計軟體。
例1: 要求二階壓控型LPF的fc=400Hz,Q值為0.7，試求圖16電路中的電阻、電容值。
 
圖16 二階壓控型LPF
解：根據fc，選取C，再求R 。
    1. C的容量不易超過1uF 。因大容量的電容器體積大，價格高，應盡量避免使用。
取C=0.1 uF，1kΩ<R<1MΩ 
                 
    計算出R＝3979Ω ，取 R=3.9kΩ
 
2．根據Ｑ值求R1和Rf，因為f=fc時Q=1/(3-Avp)=0.7 ，則Avp=1.57 。根據Avp與R1、Rf的關係，集成運放兩輸入端外接電阻的對稱條件1+Rf/R1=Avp=1.57，R1//Rf=R+R=2R 。解得：